Peluang

A.     Kaidah Pencacahan

Aturan perkalian 

Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan n tahap yang berurutan, dimana tahap pertama terdapat a₁ cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan tahap ke-n dapat terjadi dalam a_n cara yang berbeda, maka total banyaknya cara peristiwa tersebut dapat terjadi adalah a₁ × a₂ × a₃ × ... × a_n.

Latihan Soal .. 

1.      UN 2011 IPS PAKET 46

Suatu keluarga yang tinggal di Surabaya ingin liburan ke Eropa via Arab Saudi. Jika rute dari Surabaya ke Arab Saudi sebanyak 5 rute penerbangan, sedangkan Arab Saudi ke Eropa ada 6 rute, maka banyaknya semua pilihan rute penerbangan dari Surabaya ke Eropa pergi pulang dengan tidak boleh melalui rute yang sama adalah …

a. 900                     d. 600

b. 800                    e. 460

     c. 700

2.      UN 2009 IPS PAKET A/B

Seorang ingin melakukan pembicaraan melalui sebuah wartel. Ada 4 buah kamar bicara dan ada 6 buah nomor yang akan dihubungi. Banyak susunan pasangan kamar bicara dan nomor telepon yang dapat dihubungi adalah …

a. 10                        d. 1.296

b. 24                        e. 4.096

     c. 360

3.      UN 2010 IPS PAKET A

Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka berbeda. Banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah …

a. 18                 d. 120

b. 36                e. 216

     c. 60

4.      UN 2010 IPS PAKET B

Dari angka-angka 2, 3, 5, 7, dan 8 disusun bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah …

a. 10 

b. 15

c. 20

d. 48

e. 60 

5. UN 2011 IPS PAKET 12

Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 7 akan dibentuk bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda. Banyak bilangan berbeda yang dapat dibentuk dengan nilai masing-masing kurang dari 400 adalah …

a. 12

b. 24

c. 36

d. 48

e. 84

B. Peluang Suatu Kejadian 

1.      Peluang gabungan dari dua kejadian tidak saling lepas

P(AÈB) = Peluang kejadian A atau B, dengan P(AÇB) ≠ 0

                   = P(A) + P(B) – P(AÇB)  

2.      Peluang gabungan dua kejadian saling lepas

P(AÈB) = Peluang kejadian A atau B, dengan P(AÇB) = 0

= P(A) + P(B) 

3.      Peluang dua kejadian saling bebas

P(AÇB) = Peluang kejadian A dan B, pengambilan obyek di kembalikan lagi

                   =P(A) × P(B)

Turunan Fungsi

A.     Rumus-Rumus Turunan Fungsi

1.      f(x)  = c,          Þ f’(x) = 0

2.      f(x) = ax          Þ f’(x) = a

3.      f(x) = axⁿ         Þ f’(x) = a· n·x^{n – 1}

4.      Jika “u” adalah suatu fungsi dalam x, maka

f(x) = auⁿ          Þ f’(x) = a·u’·n·u^{n – 1}, dimana u’ = turunan pertama dari u

Latihan Soal..

1.      UN 2010 IPS PAKET A

Diketahui f(x) = x⁶ + 12x⁴ + 2x² – 6x + 8 dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai f’(1) = …

a. 64

b. 60

c. 58

d. 56

e. 52

2.      UN 2010 IPS PAKET B

Diketahui f(x) = 6x⁴ – 2x³ + 3x² – x – 3 dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai f’(1) = …

a. 20

b. 21

c. 23

d. 24

e. 26

3.      UN 2009 IPS PAKET A/B

Turunan pertama dari f(x) = 2x³ + 3x² – x + 2 adalah f’(x). Nilai f’(1) = …

a.       4

b.      6

c.       8

d.      11

e.       13

4.      UN 2011 IPS PAKET 12

Diketahui f(x) = (3x² – 5)⁴. Jika f’(x) adalah turunan pertama dari f(x), maka f’(x) = …

a. 4x(3x² – 5)³

b. 6x(3x² – 5)³

c. 12x(3x² – 5)³

d. 24x(3x² – 5)³

e. 48x(3x² – 5)³

5.      UN 2011 IPS PAKET 46

Turunan pertama dari f(x) = (3x² – 7)⁴ adalag f’(x) = …

a. 6x(3x² – 7)³

b. 12x(3x² – 7)³

c. 24x(3x² – 7)³

d. 36x(3x² – 7)³

      e. 48x(3x² – 7)³ 

B.     Tafsiran Geometris

Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya:

1)      Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = x₁ , yaitu m = f’(x₁)

Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (x₁, y₁) dan bergradien m adalah:

y – y₁ = m(x – x₁)

2)      Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0

3)      Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0

4)      Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0

 

1.      UN 2009 IPS PAKET A/B

Persamaan garis singgung pada kurva

y = x³ + 4x² + 5x + 8 di titik (–3, 2) adalah …

a.       y = –8x – 26

b.      y = –8x + 26

c.       y = 8x + 22

d.      y = 8x + 26

e.       y = 8x – 26

2.      UN 2008 IPS PAKET A/B

Persamaan garis singgung pada kurva

y = x² + 4x + 1 di titik (2, 13) adalah …

a. y = 8x – 3

b. y = 8x + 13

c. y = 8x – 16

d. y = 2x + 9

e. y = 4x + 5

3.      UN 2010 IPS PAKET A

Grafik fungsi f(x) = x³ + 6x² – 36x + 20 turun pada interval …

a. –2 < x < 6

b. –6 < x < 2

c. –6 < x < –2

d. x < –6 atau x > 2

e. x < –2 atau x > 6

4.      UN 2010 IPS PAKET B

Grafik fungsi f(x) = x³ + 6x² – 15x + 3 naik pada interval …

a. –1 < x < 5

b. –5 < x < 1

c. x < 1 atau x > 5

d. x < –5 atau x > 1

e. x < –1 atau x > 5

5.      UN 2009 IPS PAKET A/B

Nilai minimum fungsi f(x) = –x³ + 12x + 3 pada interval –1 ≤ x ≤ 3 adalah …

a. –13

b. –8

c. 0

d. 9

      e. 12

6.      UN 2011 IPS PAKET 12

Untuk memproduksi suatu barang diperlukan biaya produksi yang dinyatakan dengan fungsi B(x) = 2x² – 180x + 2500 dalam ribuan rupiah. Agar biaya minimum maka harus diproduksi barang sabanyak …

a. 30                 d. 90

b. 45                e. 135

      c. 60

7.      UN 2011 IPS PAKET 46

Suatu fungsi hubungan antara banyaknya pekerja dengan keuntungan perusahaan dinyatakan oleh f(x) = –2x² + 240x + 900 dengan x banyaknya pekerja dan f(x) keuntungan perusahaan dalam satuan jutaan rupiah. Keuntungan maksimum perusahaan tercapai ketika banyaknya pekerja … orang

a. 120                  d. 60

b. 100                 e. 40

      c. 80  

  

Logika Matematika

LOGIKA MATEMATIKA

A.        Negasi (Ingkaran)

            Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p

p	~ p
B	S
S	B

B.         Operator Logika

1)      Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “dan”.

p Ù q : p dan q

2)      Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “atau”.

p Ú q : p atau q

Bidang - Bidang Matematika

Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa astronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian.

Besaran

Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan bulat ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam aritmetika. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.

Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagai himpunan bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam bilangan real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan kuarternion dan oktonion. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada bilangan kardinal dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan aleph, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.

Ruang

Pengkajian ruang bermula dengan geometri – khususnya, geometri euclid. Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema pitagoras yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, geometri tak-euclid (yang berperan penting di dalam relativitas umum) dan topologi. Besaran dan ruang berperan penting di dalam geometri analitik, geometri diferensial, dan geometri aljabar. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan. Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan konjektur poincaré yang telah lama ada dan teorema empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.